Актуальная бесконечность — понятие, введённое Георгом Кантором, утверждающее что бесконечное множество существует целиком, как завершённый объект. Из этого постулата выросли парадоксы: Банаха-Тарского (из одного шара можно сложить два таких же), необходимость аксиомы выбора (утверждение существования без описания), разные «размеры» бесконечности (одних бесконечностей «больше» чем других).
Все эти парадоксы имеют одну причину — постулат о завершённости бесконечности. Он не доказан. Он принят как аксиома. А из необоснованной аксиомы можно вывести что угодно.

ПСЕВДОБЕСКОНЕЧНОСТЬ
Предлагается альтернативный класс бесконечности — псевдобесконечность.
Определение: псевдобесконечность конечна в каждый момент, но не имеет достижимого предела. Каждый следующий элемент порождается по запросу. Пока запроса нет — элемента нет. Запрос поступил — элемент вычислен, детерминирован и воспроизводим.
Аналогия: компьютерная игра с процедурной генерацией миров. В памяти хранится не триллион миров, а правило их порождения. Пришёл в мир — он построился. Ушёл — его нет. Вернулся — он тот же самый. Миров потенциально бесконечно, но актуально существует только тот, в который ты смотришь.
Как говорил Эйнштейн: «Вы что, действительно уверены, что когда вы не смотрите на Луну, её нет?» Для псевдобесконечности ответ — да. Элемент существует когда к нему обратились.
 
СЛЕДСТВИЯ
Аксиома выбора не нужна. В актуальной бесконечности нужно выбирать из бесконечного числа множеств одновременно, что невозможно описать. В псевдобесконечности выбор делается по одному элементу в момент порождения. Всегда конечный шаг, всегда обоснованный.
Парадокс Банаха-Тарского невозможен. Он требует разбиения шара на неизмеримые множества, существование которых постулируется через аксиому выбора. Нет актуальной бесконечности — нет аксиомы выбора — нет парадокса.
Разных «размеров» бесконечности нет. Диагональный аргумент Кантора показывает что для любого списка вещественных чисел можно построить число, которого в списке нет. В актуальной бесконечности это означает «вещественных больше чем натуральных». В псевдобесконечности это означает «процесс порождения не завершён» — что верно по определению. Возьми псевдобесконечность определённого размера — и биекция между натуральными и вещественными всегда строится.
Математика не теряет ничего. Всё что реально доказано — доказано конечным числом шагов. Каждое вычисление конечно. Интегралы, пределы, ряды — всё работает через конечные приближения нужной точности. Актуальная бесконечность нигде реально не используется — она только постулируется как фон. Убери этот фон — доказательства останутся, парадоксы исчезнут.
 
ВЫВОД
Бесконечность взрывает мозг без какой-либо пользы. Псевдобесконечность покрывает всё то же самое, но не взрывает мозг. Она конечна, детерминирована, воспроизводима и порождается по запросу. Не вместо Кантора — рядом с ним. Новый класс в семействе бесконечностей, который снимает парадоксы, сохраняя всю мощь математики.