ГЛАВНАЯ
Актуальная бесконечность — понятие, введённое Георгом Кантором, утверждающее что бесконечное множество существует целиком, как завершённый объект. Из этого постулата следуют результаты, которые принято называть парадоксами: Банаха-Тарского (из одного шара можно сложить два таких же), необходимость аксиомы выбора (утверждение существования без описания), разные «размеры» бесконечности (одних бесконечностей «больше» чем других).
Предлагается альтернативный класс бесконечности, в котором эти вопросы не возникают.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Псевдобесконечность (П) — класс бесконечности, который конечен в каждый момент обращения, но не имеет достижимого предела. Актуальная бесконечность является недостижимым пределом псевдобесконечности.
Свойства:
Конечность состояния — в каждый момент количество порождённых элементов конечно.
Неограниченность — для любого порождённого элемента существует следующий.
Детерминированность — повторный запрос к тому же элементу даёт тот же результат.
Причинность — каждый элемент порождён в результате запроса, ничто не существует без причины.
Недостижимость предела — актуальная бесконечность является пределом, к которому псевдобесконечность стремится, но никогда не достигает. Парадоксы актуальной бесконечности существуют в этом пределе и именно поэтому нереализуемы.
АНАЛОГИЯ
Компьютерная игра с процедурной генерацией миров. В памяти хранится не триллион миров, а правило их порождения. Пришёл в мир — он построился. Ушёл — его нет. Вернулся — он тот же самый. Миров потенциально бесконечно, но актуально существует только тот, в который ты смотришь.
Как говорил Эйнштейн: «Вы что, действительно уверены, что когда вы не смотрите на Луну, её нет?» Для псевдобесконечности ответ — да. Элемент существует когда к нему обратились.
ОТНОШЕНИЕ К АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ
П не отменяет А и не опровергает её. Это другая система с другими правилами, подобно тому как геометрия Лобачевского не отменяет геометрию Евклида.
В А парадоксы (Банаха-Тарского, аксиома выбора, разные мощности) существуют как свойства завершённой бесконечности. В П эти парадоксы существуют в недостижимом пределе — они реальны, но нереализуемы, как горизонт, который видишь, но до которого не дойдёшь.
Аксиома выбора в П не нужна — выбор делается по одному элементу в момент порождения. Всегда конечный шаг, всегда обоснованный.
Диагональный аргумент Кантора в П означает не «вещественных больше чем натуральных», а «процесс порождения не завершён» — что верно по определению. На любом конкретном размере биекция между натуральными и вещественными строится.
СЛЕДСТВИЯ
Вся конструктивная математика полностью сохраняется в П. Всё что реально доказано — доказано конечным числом шагов. Каждое вычисление конечно. Интегралы, пределы, ряды — всё работает через конечные приближения нужной точности.
П предлагает систему, в которой можно работать с неограниченными процессами без необходимости постулировать завершённую бесконечность и без парадоксов, которые из этого постулата следуют.
ВЫВОД
Псевдобесконечность — не замена актуальной бесконечности, а альтернативная система рядом с ней. Она конечна, детерминирована, воспроизводима, причинно-следственна и порождается по запросу. В ней сохраняется вся мощь конструктивной математики, а парадоксы актуальной бесконечности существуют только в недостижимом пределе.
Предлагается альтернативный класс бесконечности, в котором эти вопросы не возникают.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Псевдобесконечность (П) — класс бесконечности, который конечен в каждый момент обращения, но не имеет достижимого предела. Актуальная бесконечность является недостижимым пределом псевдобесконечности.
Свойства:
Конечность состояния — в каждый момент количество порождённых элементов конечно.
Неограниченность — для любого порождённого элемента существует следующий.
Детерминированность — повторный запрос к тому же элементу даёт тот же результат.
Причинность — каждый элемент порождён в результате запроса, ничто не существует без причины.
Недостижимость предела — актуальная бесконечность является пределом, к которому псевдобесконечность стремится, но никогда не достигает. Парадоксы актуальной бесконечности существуют в этом пределе и именно поэтому нереализуемы.
АНАЛОГИЯ
Компьютерная игра с процедурной генерацией миров. В памяти хранится не триллион миров, а правило их порождения. Пришёл в мир — он построился. Ушёл — его нет. Вернулся — он тот же самый. Миров потенциально бесконечно, но актуально существует только тот, в который ты смотришь.
Как говорил Эйнштейн: «Вы что, действительно уверены, что когда вы не смотрите на Луну, её нет?» Для псевдобесконечности ответ — да. Элемент существует когда к нему обратились.
ОТНОШЕНИЕ К АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ
П не отменяет А и не опровергает её. Это другая система с другими правилами, подобно тому как геометрия Лобачевского не отменяет геометрию Евклида.
В А парадоксы (Банаха-Тарского, аксиома выбора, разные мощности) существуют как свойства завершённой бесконечности. В П эти парадоксы существуют в недостижимом пределе — они реальны, но нереализуемы, как горизонт, который видишь, но до которого не дойдёшь.
Аксиома выбора в П не нужна — выбор делается по одному элементу в момент порождения. Всегда конечный шаг, всегда обоснованный.
Диагональный аргумент Кантора в П означает не «вещественных больше чем натуральных», а «процесс порождения не завершён» — что верно по определению. На любом конкретном размере биекция между натуральными и вещественными строится.
СЛЕДСТВИЯ
Вся конструктивная математика полностью сохраняется в П. Всё что реально доказано — доказано конечным числом шагов. Каждое вычисление конечно. Интегралы, пределы, ряды — всё работает через конечные приближения нужной точности.
П предлагает систему, в которой можно работать с неограниченными процессами без необходимости постулировать завершённую бесконечность и без парадоксов, которые из этого постулата следуют.
ВЫВОД
Псевдобесконечность — не замена актуальной бесконечности, а альтернативная система рядом с ней. Она конечна, детерминирована, воспроизводима, причинно-следственна и порождается по запросу. В ней сохраняется вся мощь конструктивной математики, а парадоксы актуальной бесконечности существуют только в недостижимом пределе.
Логические операторы и метаязык
В формальной логике и языках программирования существует фундаментальная ошибка именования, которая тянется уже более ста лет и влияет на мышление миллионов программистов.
ПРОБЛЕМА
В естественном языке (метаязыке) слово «или» всегда означает выбор одного из двух:
«Ты идёшь налево или направо?» — не оба сразу.
«Это правда или ложь?» — не обе сразу.
«Будешь чай или кофе?» — одно из двух.
Однако в формальной логике оператор OR (ИЛИ) означает нечто другое — «хотя бы одно из двух, возможно оба». А то, что в метаязыке является настоящим «или», спрятано под непроизносимым именем XOR (исключающее ИЛИ).
ЧТО ТАКОЕ OR НА САМОМ ДЕЛЕ?
OR — это не «или». OR — это запятая.
«Купи хлеб, молоко, масло» — перечисление через запятую. Может купишь одно, может два, может всё. Любая комбинация, кроме «ничего из списка». Это в точности таблица истинности OR: ложь только когда всё ложно.
ПРАВИЛЬНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
В метаязыке «и» (оба) — это оператор конъюнкции. Текущее имя AND. Предлагаемое имя AND. Здесь ошибки нет.
В метаязыке «,» (запятая, перечисление) — это оператор дизъюнкции. Текущее имя OR. Предлагаемое имя COM (от comma — запятая).
В метаязыке «или» (одно из двух) — это оператор исключающего или. Текущее имя XOR. Предлагаемое имя OR.
СЛЕДСТВИЯ
Программисты пишут if (a || b) и if (a && b) — это 99% всего кода. XOR почти не используется в бизнес-логике, хотя множество задач — это именно исключающий выбор: «пользователь либо админ, либо гость», «заказ либо оплачен, либо отменён», «свет либо включён, либо выключен».
Вместо одного оператора XOR программист пишет (a || b) && !(a && b) — лишний код, лишняя сложность, лишние ошибки. Когда XOR был добавлен в аппаратную часть компьютеров, производительность выросла на 30%, потому что одна операция заменила цепочку из трёх.
ВЫВОД
Формальная логика назвала OR словом «или», хотя это запятая. А настоящее «или» назвала XOR и спрятала за непроизносимой аббревиатурой. Эта ошибка именования живёт уже более века и ежедневно порождает избыточный код по всему миру.
Исправление: COM (comma) вместо OR, OR вместо XOR. Три оператора — три имени — каждое соответствует тому, как мыслит человек.
В формальной логике и языках программирования существует фундаментальная ошибка именования, которая тянется уже более ста лет и влияет на мышление миллионов программистов.
ПРОБЛЕМА
В естественном языке (метаязыке) слово «или» всегда означает выбор одного из двух:
«Ты идёшь налево или направо?» — не оба сразу.
«Это правда или ложь?» — не обе сразу.
«Будешь чай или кофе?» — одно из двух.
Однако в формальной логике оператор OR (ИЛИ) означает нечто другое — «хотя бы одно из двух, возможно оба». А то, что в метаязыке является настоящим «или», спрятано под непроизносимым именем XOR (исключающее ИЛИ).
ЧТО ТАКОЕ OR НА САМОМ ДЕЛЕ?
OR — это не «или». OR — это запятая.
«Купи хлеб, молоко, масло» — перечисление через запятую. Может купишь одно, может два, может всё. Любая комбинация, кроме «ничего из списка». Это в точности таблица истинности OR: ложь только когда всё ложно.
ПРАВИЛЬНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
В метаязыке «и» (оба) — это оператор конъюнкции. Текущее имя AND. Предлагаемое имя AND. Здесь ошибки нет.
В метаязыке «,» (запятая, перечисление) — это оператор дизъюнкции. Текущее имя OR. Предлагаемое имя COM (от comma — запятая).
В метаязыке «или» (одно из двух) — это оператор исключающего или. Текущее имя XOR. Предлагаемое имя OR.
СЛЕДСТВИЯ
Программисты пишут if (a || b) и if (a && b) — это 99% всего кода. XOR почти не используется в бизнес-логике, хотя множество задач — это именно исключающий выбор: «пользователь либо админ, либо гость», «заказ либо оплачен, либо отменён», «свет либо включён, либо выключен».
Вместо одного оператора XOR программист пишет (a || b) && !(a && b) — лишний код, лишняя сложность, лишние ошибки. Когда XOR был добавлен в аппаратную часть компьютеров, производительность выросла на 30%, потому что одна операция заменила цепочку из трёх.
ВЫВОД
Формальная логика назвала OR словом «или», хотя это запятая. А настоящее «или» назвала XOR и спрятала за непроизносимой аббревиатурой. Эта ошибка именования живёт уже более века и ежедневно порождает избыточный код по всему миру.
Исправление: COM (comma) вместо OR, OR вместо XOR. Три оператора — три имени — каждое соответствует тому, как мыслит человек.
Intelligence bows before stupidity, but afterward it uses it.
האינטליגנציה נכנעת לטיפשות, אך אחר כך משתמשת בה.
האינטליגנציה נכנעת לטיפשות, אך אחר כך משתמשת בה.
The world is the finest slice of reality, since the past is gone forever, and the future has not yet come.
העולם הוא הפרוסה העדינה ביותר של המציאות, מכיוון שהעבר נעלם לנצח, והעתיד עדיין לא הגיע.
העולם הוא הפרוסה העדינה ביותר של המציאות, מכיוון שהעבר נעלם לנצח, והעתיד עדיין לא הגיע.
Any racism feeds on love for one's own people.
כל גזענות ניזונה מאהבה לעם שלה.
כל גזענות ניזונה מאהבה לעם שלה.
Truth slips away best from understanding!
האמת נוטה להימלט מהבנה!
האמת נוטה להימלט מהבנה!
What use is it that you are in blue if everyone around you is in green?
מה יועיל שאתה בכחול אם כולם סביבך בירוק?
מה יועיל שאתה בכחול אם כולם סביבך בירוק?
-Я точно знаю, что испорчусь!
Мне намекала виноградная лоза.
И я знал, что умру не обессудьте,
но превращусь с ней в смысл бытия.
Мне намекала виноградная лоза.
И я знал, что умру не обессудьте,
но превращусь с ней в смысл бытия.
For believers, the world is God; for atheists, God is the world.
עבור המאמינים, העולם הוא אלוהים; עבור האתאיסטים, אלוהים הוא העולם.
עבור המאמינים, העולם הוא אלוהים; עבור האתאיסטים, אלוהים הוא העולם.
Smart thoughts take up less space in the mind than foolish ones!
מחשבות חכמות תופסות פחות מקום במוח מאשר טיפשיות!
מחשבות חכמות תופסות פחות מקום במוח מאשר טיפשיות!
If humans were devils, nothing in the world would change except for this fact.
אם בני האדם היו שדים, שום דבר בעולם לא היה משתנה פרט לעובדה הזו.
אם בני האדם היו שדים, שום דבר בעולם לא היה משתנה פרט לעובדה הזו.
Logic is one of those things you have to believe in!
לוגיקה היא אחד מהדברים האלה שאתה חייב להאמין בהם!
לוגיקה היא אחד מהדברים האלה שאתה חייב להאמין בהם!
Precision is a quality of genius!
דיוק הוא תכונה של גאון!
דיוק הוא תכונה של גאון!
Logic is on the side of good!
ההיגיון עומד לצד הטוב!
ההיגיון עומד לצד הטוב!
There is no such thing as an honest fifty-fifty.
שוויון הוגן של חצי־חצי לא קיים.
שוויון הוגן של חצי־חצי לא קיים.
