Актуальная бесконечность — понятие, введённое Георгом Кантором, утверждающее что бесконечное множество существует целиком, как завершённый объект. Из этого постулата следуют результаты, которые принято называть парадоксами: Банаха-Тарского (из одного шара можно сложить два таких же), необходимость аксиомы выбора (утверждение существования без описания), разные «размеры» бесконечности (одних бесконечностей «больше» чем других).

Предлагается альтернативный класс бесконечности, в котором эти вопросы не возникают.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Псевдобесконечность (П) — класс бесконечности, который конечен в каждый момент обращения, но не имеет достижимого предела. Актуальная бесконечность является недостижимым пределом псевдобесконечности.

Свойства:

Конечность состояния — в каждый момент количество порождённых элементов конечно.

Неограниченность — для любого порождённого элемента существует следующий.

Детерминированность — повторный запрос к тому же элементу даёт тот же результат.

Причинность — каждый элемент порождён в результате запроса, ничто не существует без причины.

Недостижимость предела — актуальная бесконечность является пределом, к которому псевдобесконечность стремится, но никогда не достигает. Парадоксы актуальной бесконечности существуют в этом пределе и именно поэтому нереализуемы.

АНАЛОГИЯ

Компьютерная игра с процедурной генерацией миров. В памяти хранится не триллион миров, а правило их порождения. Пришёл в мир — он построился. Ушёл — его нет. Вернулся — он тот же самый. Миров потенциально бесконечно, но актуально существует только тот, в который ты смотришь.

Как говорил Эйнштейн: «Вы что, действительно уверены, что когда вы не смотрите на Луну, её нет?» Для псевдобесконечности ответ — да. Элемент существует когда к нему обратились.

ОТНОШЕНИЕ К АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ

П не отменяет А и не опровергает её. Это другая система с другими правилами, подобно тому как геометрия Лобачевского не отменяет геометрию Евклида.

В А парадоксы (Банаха-Тарского, аксиома выбора, разные мощности) существуют как свойства завершённой бесконечности. В П эти парадоксы существуют в недостижимом пределе — они реальны, но нереализуемы, как горизонт, который видишь, но до которого не дойдёшь.

Аксиома выбора в П не нужна — выбор делается по одному элементу в момент порождения. Всегда конечный шаг, всегда обоснованный.

Диагональный аргумент Кантора в П означает не «вещественных больше чем натуральных», а «процесс порождения не завершён» — что верно по определению. На любом конкретном размере биекция между натуральными и вещественными строится.

СЛЕДСТВИЯ

Вся конструктивная математика полностью сохраняется в П. Всё что реально доказано — доказано конечным числом шагов. Каждое вычисление конечно. Интегралы, пределы, ряды — всё работает через конечные приближения нужной точности.

П предлагает систему, в которой можно работать с неограниченными процессами без необходимости постулировать завершённую бесконечность и без парадоксов, которые из этого постулата следуют.

ВЫВОД

Псевдобесконечность — не замена актуальной бесконечности, а альтернативная система рядом с ней. Она конечна, детерминирована, воспроизводима, причинно-следственна и порождается по запросу. В ней сохраняется вся мощь конструктивной математики, а парадоксы актуальной бесконечности существуют только в недостижимом пределе.