ЛОГИКА
Perhaps a genius is a friend to paradoxes, but this trickster resolves them!
אולי הגאון הוא ידיד הפרדוקסים, אבל הרמאי הזה פותר אותם!
אולי הגאון הוא ידיד הפרדוקסים, אבל הרמאי הזה פותר אותם!
Meaning is the most subtle thing in the world.
המשמעות היא הדבר העדין ביותר בעולם.
המשמעות היא הדבר העדין ביותר בעולם.
Soul is a fork, Mind is a path!
הנפש היא צומת, השכל הוא דרך!
הנפש היא צומת, השכל הוא דרך!
It's simple: If you are good, those around you are bad; if you are rich, those around you are poor; if you are smart, those around you are fools... Our true place is among those like ourselves!
זה פשוט: אם אתה טוב, סביבך רעים; אם אתה עשיר, סביבך עניים; אם אתה חכם, סביבך טיפשים... המקום האמיתי שלנו הוא בין אלו שכמונו!
זה פשוט: אם אתה טוב, סביבך רעים; אם אתה עשיר, סביבך עניים; אם אתה חכם, סביבך טיפשים... המקום האמיתי שלנו הוא בין אלו שכמונו!
Введение
Парадокс лампы Томпсона показывает, как бесконечное деление процесса создаёт математическую неопределённость. Формально, после бесконечного числа переключений лампа одновременно и горит, и не горит. Математика фиксирует лишь стремление ряда к пределу, но сама последовательность переключений бесконечна.
Бесконечная последовательность и вероятность
Представим лампу, изначально выключенную, которая переключается на каждом шаге бесконечной последовательности. Время между шагами делится по геометрической прогрессии: 1/2, 1/4, 1/8 и так далее.
Шаги с нечётными номерами дают лампе шанс быть включённой.
Шаги с чётными номерами дают лампе шанс быть выключенной.
Вычисление вероятностей
Для включённой лампы сумма шансов по шагам с нечётными номерами:
S_on = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...
Это геометрическая прогрессия с первым членом a = 1/2 и знаменателем q = 1/4:
S_on = a / (1 - q) = (1/2) / (1 - 1/4) = 2/3
Для выключенной лампы сумма шансов по шагам с чётными номерами:
S_off = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...
Геометрическая прогрессия с a = 1/4 и q = 1/4:
S_off = a / (1 - q) = (1/4) / (1 - 1/4) = 1/3
Вывод
Даже при бесконечной последовательности можно определить конкретные шансы на состояние лампы:
вероятность быть включённой — 2/3
вероятность быть выключенной — 1/3
Хотя мы никогда не дойдём до конечного шага, математическая структура процесса позволяет придать смысл бесконечной последовательности через вероятности.
Парадокс лампы Томпсона показывает, как бесконечное деление процесса создаёт математическую неопределённость. Формально, после бесконечного числа переключений лампа одновременно и горит, и не горит. Математика фиксирует лишь стремление ряда к пределу, но сама последовательность переключений бесконечна.
Бесконечная последовательность и вероятность
Представим лампу, изначально выключенную, которая переключается на каждом шаге бесконечной последовательности. Время между шагами делится по геометрической прогрессии: 1/2, 1/4, 1/8 и так далее.
Шаги с нечётными номерами дают лампе шанс быть включённой.
Шаги с чётными номерами дают лампе шанс быть выключенной.
Вычисление вероятностей
Для включённой лампы сумма шансов по шагам с нечётными номерами:
S_on = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...
Это геометрическая прогрессия с первым членом a = 1/2 и знаменателем q = 1/4:
S_on = a / (1 - q) = (1/2) / (1 - 1/4) = 2/3
Для выключенной лампы сумма шансов по шагам с чётными номерами:
S_off = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...
Геометрическая прогрессия с a = 1/4 и q = 1/4:
S_off = a / (1 - q) = (1/4) / (1 - 1/4) = 1/3
Вывод
Даже при бесконечной последовательности можно определить конкретные шансы на состояние лампы:
вероятность быть включённой — 2/3
вероятность быть выключенной — 1/3
Хотя мы никогда не дойдём до конечного шага, математическая структура процесса позволяет придать смысл бесконечной последовательности через вероятности.
Truth is at rest!
הבעיה היא מנוע הקִדמה!
הבעיה היא מנוע הקִדמה!
Truth cannot be confused with anything except falsehood!
אי אפשר לבלבל את האמת עם שום דבר חוץ משקר!
אי אפשר לבלבל את האמת עם שום דבר חוץ משקר!
Введение
В диалоге Льюиса Кэрролла, известном как «парадокс черепахи», черепаха требует от собеседника не просто доказать импликацию A⇒B, а доказать, что из предпосылки A следует сама эта импликация — то есть требует бесконечно продолжать доказательство каждого шага. Это ведёт к бесконечному регрессу и парадоксу.
Парадокс
Человек утверждает: «Если A, то B» — A⇒B.
Черепаха не принимает это как аксиому и просит доказать, что из A следует импликация A⇒B:
A⊢(A⇒B)
В ответ она снова требует доказать, что из A следует, что из A следует A⇒B, и так далее — бесконечно.
Рассмотрение импликации через таблицу истинности
Импликация A⇒B истинна в трёх из четырёх случаев:
Истина → Истина — импликация истинна.
Истина → Ложь — импликация ложна (единственный случай ложности).
Ложь → Истина — импликация истинна.
Ложь → Ложь — импликация истинна.
Это значит:
В трёх случаях доказывать импликацию не требуется — она автоматически истинна.
В одном случае (Истина → Ложь) доказать импликацию невозможно, так как она ложна.
Заключение
Парадокс черепахи возникает из-за попытки доказать импликацию там, где это либо не нужно, либо невозможно. Постоянное требование новых доказательств создаёт бесконечный регресс.
Решение — признать импликацию и правила вывода (например, модус поненс) как базовые аксиомы логики. Это останавливает регресс и позволяет строить корректные доказательства.
Таким образом, парадокс Кэрролла демонстрирует важность принятия фундаментальных логических правил, без которых рассуждение становится бесконечным и неработающим.
В диалоге Льюиса Кэрролла, известном как «парадокс черепахи», черепаха требует от собеседника не просто доказать импликацию A⇒B, а доказать, что из предпосылки A следует сама эта импликация — то есть требует бесконечно продолжать доказательство каждого шага. Это ведёт к бесконечному регрессу и парадоксу.
Парадокс
Человек утверждает: «Если A, то B» — A⇒B.
Черепаха не принимает это как аксиому и просит доказать, что из A следует импликация A⇒B:
A⊢(A⇒B)
В ответ она снова требует доказать, что из A следует, что из A следует A⇒B, и так далее — бесконечно.
Рассмотрение импликации через таблицу истинности
Импликация A⇒B истинна в трёх из четырёх случаев:
Истина → Истина — импликация истинна.
Истина → Ложь — импликация ложна (единственный случай ложности).
Ложь → Истина — импликация истинна.
Ложь → Ложь — импликация истинна.
Это значит:
В трёх случаях доказывать импликацию не требуется — она автоматически истинна.
В одном случае (Истина → Ложь) доказать импликацию невозможно, так как она ложна.
Заключение
Парадокс черепахи возникает из-за попытки доказать импликацию там, где это либо не нужно, либо невозможно. Постоянное требование новых доказательств создаёт бесконечный регресс.
Решение — признать импликацию и правила вывода (например, модус поненс) как базовые аксиомы логики. Это останавливает регресс и позволяет строить корректные доказательства.
Таким образом, парадокс Кэрролла демонстрирует важность принятия фундаментальных логических правил, без которых рассуждение становится бесконечным и неработающим.
